经典力学

质点运动学略

牛顿运动定律略

$x_c=\int_{\text{物体}}\frac{x\mathrm d m}{m}$

动量，冲量和相关定理

$\vec p=m\vec v, \vec I =\int_{t_1}^{t_2}\vec F \mathrm{d}t,\vec F=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t},\int_{t_1}^{t_2}\vec F\mathrm{d}t=\vec {p_2}-\vec{p_1}$

动量守恒定律

$\vec F=0$ 时，$\vec P$ 为常矢量

$\vec {F_{n}}=0$ 时，$P_n$ 为常量

角动量

角动量 $\vec L=\vec r\times m\vec v$，注意是叉乘

力矩：$\vec M=\vec r \times \vec F$

注意前者 $\vec r$ 是质点关于参考点的位矢，后者是力作用点关于参考点的位矢

角动量定理

$\vec M=\frac{\mathrm{d}\vec L}{\mathrm{d}t}$

$\int _{t_1}^{t_2}\vec M\mathrm{d}t=\vec{L_2}-\vec{L_2}$

若 $\vec M=0$，则 $\vec L$ 为常矢量，即角动量守恒

能

保守力：$\oint_L \vec{F}=0,E_P=\int^{\text{零势能点}}_a\vec{ F_{\text{保}}}\mathrm{d}r$

重力势能：$E_p=mgz$，引力势能：$E_p=-\frac{GMm}{r}$，弹性势能：$E_p=\frac{1}{2}kx^2$

机械能 $E=E_k+E_p$.. 外力和非保守内力做功为 $0$ 则 $E$ 保持不变

碰撞：动量守恒，完全弹性则机械能也守恒

刚体运动

转动惯量 $J=\int_{\text{物体}}r_i^2\mathrm{d}m$

杆：$J=\frac{1}{12}ml^2,J=\frac{1}{3}ml^2$（轴中间，一端）

圆环：$J=mR^2$，圆盘：$J=\frac{1}{2}mR^2$

角动量 $\vec L=J\omega$，外力对轴力矩 $\vec M=\vec r \times \vec F_{\perp z}$，注意是叉乘，结果与轴平行。

$\vec M=J\vec \alpha$. 逆时针为正。

$\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}=M,\int_{t_1}^{t_2}M\mathrm{d}t=L_2-L_1$

$M=0,L_1=L_2,J_1\omega_1=J_2\omega_2$

力矩做功转动动能

$A=\int_{\theta_1}^{\theta_2}M\mathrm{d}\theta,E_k=\frac{1}{2}J\omega^2$

$\int_{\theta_1}^{\theta_2}M\mathrm{d}\theta=E_{k2}-E_{k1}$

振动与波动学

振动

简谐振动

$A\cos (\omega t+\varphi)$

振动频率 $v=\frac{2\pi}{\omega}$ 与振动周期有 $v=\frac{1}{T}$

通过求导得到简谐振动的速度和加速度。

弹簧-物块振动方程

$-kx=m\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}$

故有微分方程 $\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}+\frac{k}{m}x=0$

解得 $x=A\cos (\sqrt{\frac{k}{m}} t+\varphi)$

故 $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}},T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

$x=A\cos(\omega t+\varphi ),\omega=\sqrt{\frac{k}{m}},A=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega^2}}$

再根据题意解出 $\varphi$
简谐振动的能量

动能表达式：$E_k=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}kA^2\sin^2(\omega t+\varphi)$

势能表达式：$E_p=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega t+\varphi)$

$\overline{E_k}=\overline{E_p}=\frac{1}{4}kA^2,E=\frac{1}{2}kA^2=\frac{1}{2}m\omega^2$

旋转矢量法

略

同方向同频率简谐振动的合成

$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\varphi_1-\varphi_2)},\tan \varphi=\frac{A_1\sin \varphi_1+A_2\sin \varphi_2}{A_1\cos \varphi_1+A_2\cos \varphi_2}$

用解析法和旋转矢量法（平行四边形法则）都可以导出该结果。

波动

$A$：波源振幅，$\varphi$：波源初相位

T：波源振动周期，$f$：波源振动频率，$\omega$：波源振动角频率

$u$：波速，$\lambda$：波长

$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{1}{f},\omega=2\pi f,u=\frac{\lambda}{T}=\lambda f$

波函数

$y(x,t)=A\cos[\omega (t\mp \frac{x}{u})+\varphi]$

机械波和电磁波

机械波的传播需要介质（纵波：固液气；横波：固），电磁波不需要

波从一种介质进入另一种介质时，频率，周期不变，波速改变，波长改变

要注意到光的颜色由频率决定而非波长决定，因此光的颜色不会改变。

波的叠加和干涉

设两波初相位 $\varphi_1,\varphi_2$，距离 $P$ 点 $r_1,r_2$ ，则有

相位差：$\Delta \varphi =\varphi_1-\varphi_2-\omega(\frac{r_2-r_1}{u})$

波程差：$\delta=r_2-r_1-\lambda\frac{\varphi_2-\varphi_1}{2\pi}$

$\Delta \varphi =\pm 2k\pi$ 或 $\delta=\pm k\lambda$ 时，干涉加强

$\Delta \varphi =\pm (2k+1)\pi$ 或 $\delta=\pm \frac{2k+1}{2}\lambda$ 时，干涉减弱

半波损失

在固定端反射（或从波疏介质射向波密介质）会产生半波损失

入射波： $y(x,t)=A\cos[w(t-\frac{x}{u})]$

反射波：$y(x,t)=Acos[w(t+\frac{x}{u})-\pi]$

由于半波损失的存在，驻波的固定端产生波节而非波腹。

已知入射波求反射波时，先确定入射波在反射点的函数，再考虑半波损失后令其传播方向相反即可。

驻波

驻波的点与点没有能量的传播

多普勒效应

$f_R=\frac{u+v_R}{u-v_S}f_S$，$v_R$ 是观察者接近波源速度，$v_S$ 是波源接近速度。

光学

双缝干涉

干涉相长：$\frac{d}{D}x=\pm k\lambda$

干涉相消：$\frac{d}{D}x=\pm(2k+1)\frac{\lambda}{2}$

$d$ 双缝间距，$D$ 板间距离，$x$ 与板中心距离

明暗纹中心光强

$I_1+I_2\pm \sqrt{I_1I_2}$

光程

$\text{相位差}=\frac{2\pi}{\lambda}\text{光程差}$

记为 $\Delta \varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\delta$

当 $\Delta \varphi=\pm 2k\pi$ 时，相长；当 $\Delta \varphi=\pm (2k+1)\pi$ 时，相消；

或 $=k $ 时，相长；当 $\delta =(2k+1)\frac{\lambda}{2}$时，相消；

薄膜干涉

折射率 $n_1<n_2$ ，1 射入 2 反射时有半波损失

当 $n_1<n_2>n_3$ 或 $n_1>n_2<n_3$ 时，薄膜干涉有半波损失

光程差：$\delta=2n_2d\cos r+\frac{\lambda}{2}$，这里 $r$ 是折射光与垂直方向的夹角

$n_2\cos r=\sqrt{n_2^2-n_2^2\sin^2r}=\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2i}$，这里 $i$ 是入射光和垂直方向

那么 $2d\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2i}+\frac{\lambda}{2}=k\lambda$ 时，相长；$=(2k+1)\frac{\lambda}{2}$ ，相消

劈尖

通常情况下上式 $\sin i=0$ ，故有 $2nd+\frac{\lambda}{2}=k\lambda$ 时相长

$d=\frac{2k-1}{4n}\lambda$ 时明纹；$d=\frac{k}{2n}\lambda$ 时暗纹。（空气折射率 $n=1$ ）

故相邻两条明或暗纹之间劈尖空气膜厚度相差 $ $

条纹间距即为 $l=\frac{\lambda}{2n\sin \alpha}=\frac{\lambda}{2n\alpha}$

干涉条纹向劈尖尖处弯曲，则说明对应点空气膜变厚，故下凹。反之亦然。

牛顿环

类似地，$d=\frac{2k-1}{4}\lambda$ 时明纹；$d=\frac{k}{2}\lambda$ 时暗纹。

有 $d=\frac{r^2}{2R}$

故有 $r=\sqrt{\frac{(2k-1)R\lambda}{2}}$ 明纹； $r=\sqrt{kR\lambda}$ 暗纹。

纹间距內疏外密。

增透膜，增反膜

选取薄膜厚度 $d$ 使得 $2n_2d=(2k+1)\frac{\lambda}{2}$ 干涉相消，从而增强透射光。

最薄增透膜即为 $d=\frac{4n_2}{\lambda}$

一般通过多层反射膜增反，使得大部分光被反射。

单缝（夫琅禾费）衍射

明暗纹位置

明纹：$\delta =a\sin \theta =\pm (2k+1)\frac{\lambda}{2}$

暗纹：$\delta =a\sin \theta =\pm k\lambda$

（ $\sin \theta$ 在较小时也可以用 $\frac{x}{f}$ ，焦距与偏离平板中心的距离之比得到）

中央明纹宽度

$l=2f\frac{\lambda}{a}$

半波带数

明纹：$2k+1$

暗纹：$2k$

光栅衍射

主极大：$(a+b)\sin \theta=k\lambda$

若入射光源照射光栅时不垂直，且与垂直方向夹角为 $\varphi$，则主极大：$(a+b)\sin \theta\cos \varphi=k\lambda$

缺级：$k=\frac{a+b}{a}k'$

距离中央明纹距离： $f\tan \theta$，$$ 较小时，$f\theta$

光的偏振

线偏振光

偏振度 $P=\frac{I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}$

顺时针右旋逆时针左旋，吗

偏振片：$I=I_0\cos^2\alpha$

布儒斯特定律

$\tan i_0=\frac{n_2}{n_1}=n_{21}$（1射入2）

此时 $i_0+r=\frac{\pi}{2}$，且反射光为完全偏振光

可以通过叠加多块玻璃片使得射出的折射光几乎变为完全偏振光。

热学

考纲喵：理想气体的状态方程；理想气体的温度、压强、内能；能均分定理；麦克斯韦速率分布函数的意义和三种统计速率；热力学第一定律在理想气体准静态等值过程（等体、等压、等温）中的应用；热容；定性理解绝热过程；循环过程及热机效率、卡诺循环；热力学第二定律的定性理解及克劳修斯熵的计算。不考气体分子的平均自由程。

理想气体

理想气体的状态方程

\[pV=vRT\]

\[v=\frac{m'}{M},\text{用摩尔质量计算的摩尔数};R=\frac{p_0v_0}{T_0},\text{普适气体恒量，8.31(4)}\]

\[p=nkT\]

\[n=N/V,\text{分子数密度};k,\text{玻尔兹曼常数}1.380649 ×\times 10^{-23} J/K\text{，满足}R=kN_A\]

理想气体的温度、压强、内能

压强公式

\[p=\frac{1}{3}nm\overline {v^2} =\frac{2}{3}n\overline\omega,\overline \omega \text{是平均动能}\]

温度公式

\[\overline \omega =\frac{3}{2}kT\]

内能公式

\[U=\frac{m'}{M}\frac{i}{2}RT=\frac{i}{2}vRT=\frac{i}{2}pV\]

麦克斯韦速率分布函数的意义和三种统计速率

\[f(v)=4\pi (\frac{m}{2\pi kT})^{\frac{3}{2}}v^2e^{\frac{-mv^2}{2kT}}\]

（$m$ 越小或 $T$ 越大时速率分布函数更向左挤）

最概然速率

\[v_p=\sqrt{\frac{2kT}{m}}=\sqrt{\frac{2RT}{M}}\approx 1.41\sqrt{\frac{RT}{M}}\]

\[m,\text{分子质量};M,\text{摩尔质量}\]

平均速率

\[\overline v=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}\approx 1.60\sqrt{\frac{RT}{M}}\]

方均根速率

\[\sqrt{\overline {v^2}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}\approx 1.73\sqrt{\frac{RT}{M}}\]

~~分子平均碰撞次数~~

~~$\overline Z=\sqrt{2}\pi d^2\overline vn$~~

~~平均自由程~~

~~$\overline \lambda =\frac{\overline v}{\overline Z}=\frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2n}=\frac{kT}{\sqrt{2}\pi d^2p}$~~

热力学第一定律

\[ W= \int_{V_1}^{V_2}p\mathrm{d}V,\text{即所谓做功为曲线与 p-V 图 x 轴围成面积}\]

\[Q=\Delta E+W,\text{吸收热量等于内能增加量加对外做功}\]

等容摩尔热容量

\[\mathrm{d}E=\frac{i}{2}R\mathrm{d}T\]

\[C_v=\frac{i}{2}R\]

等压摩尔热容量

比起等容摩尔热容量，还需要对外做功。

\[(v=1),C_p=\frac{\mathrm{d}Q_p}{\mathrm{d}T}=\frac{\mathrm{d}E+p\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}=\frac{\frac{i}{2}R\mathrm{d}T+R\mathrm{d}T}{\mathrm{d}T}=\frac{i}{2}R\mathrm{d}T+R=C_v+R\]

利用热容计算吸热放热量

\[Q=vC_v(T_2-T_1)\text{（等容）}\]

\[Q=vC_p(T_2-T_1)\text{（等压）}\]

比热容比 $\gamma$

\[\gamma=\frac{C_p}{C_V}=\frac{i+2}{i}\]

通式

\[Q=\Delta E +W\]

\[W=\int_{V_1}^{V_2}p\mathrm{d}V=\int_{V_1}^{V_2}p_1V_1^{\gamma}\frac{\mathrm{d}V}{V^{\gamma}}\]

\[\Delta E=\frac{m'}{M}\frac{i}{2}R\Delta T\]

绝热过程 $p-V$ 方程

\[pV^\gamma=C\]

由 $pV=vRT=C_1T$，

\[TV^{\gamma-1}=C\]

\[p^{\gamma-1}T^{-\gamma}=C\]

（绝热线比等温线陡）

\[W=\int_{V_1}^{V_2}p\mathrm{d}V=\int_{V_1}^{V_2}p_1V_1^{\gamma}\frac{\mathrm{d}V}{V^{\gamma}}=-\Delta E\]

等温过程：

\[W=\int_{V_1}^{V_2}p\mathrm{d}V=vRT\ln(\frac{V_2}{V_1})\]

热机效率

\[\eta = \frac{W}{Q_1}=\frac{Q_1-Q_2}{Q_1}=1-\frac{Q_2}{Q_1},\text{Q1Q2表示从高温热源吸热，向低温热源放热}\]

若为卡诺热机，还有

\[\eta = \frac{W}{Q_1}=\frac{Q_1-Q_2}{Q_1}=1-\frac{Q_2}{Q_1}=1-\frac{T_2}{T_1},\text{Q1Q2表示从高温热源吸热，向低温热源放热}\]

制冷机制冷系数

\[e=\frac{Q_2}{W}=\frac{Q_2}{Q_1-Q_2}\text{（Q1Q2，向高温热源放热，从低温热源吸热）W:工件对外界做功}\]

若为卡诺制冷机，还有

\[e=\frac{Q_2}{W}=\frac{Q_2}{Q_1-Q_2}=\frac{T_2}{T_1-T_2}\]

热力学第二定理

克劳修斯熵公式（对单个系统）：

\[\Delta S=S_B-S_A=\int_A^B\frac{\mathrm{d}Q}{T}\]

热传导中的熵变（从高温热源 A 传向低温热源 B ）：

\[\mathrm{d}S_A=\frac{-\mathrm{d}Q}{T_A},\mathrm{d}S_B=\frac{\mathrm{d}Q}{T_B}\]

\[\mathrm{d}S=\mathrm{d}S_A+\mathrm{d}S_B=-\frac{\mathrm{d}Q}{T_A}+\frac{\mathrm{d}Q}{T_B} >0\]

自由膨胀过程的熵变：

\[(p_1,V_1,T)\rightarrow (p_2,V_2,T)\]

假设等温膨胀。

\[Q=0,W=0\Rightarrow \Delta E=0,\Delta T=0\]

\[\int_1^2\frac{\mathrm{d}Q}{T}=\int_{V_1}^{V_2}\frac{m'}{M}R\frac{\mathrm{d}V}{V}=\frac{m'}{M}R\ln\frac{V_2}{V_1}>0\]

~~自由膨胀的玻尔兹曼熵：~~玻尔兹曼熵不考

~~一个分子在 $V_1$ 内具有微观态数：$\omega_1=\frac{V_1}{\tau}$~~

$N$ 个分子在 $V_1$ 内具有微观态数：$W_1=(\frac{V_1}{\tau})^n$

$N$ 个分子在 $V_2$ 内具有微观态数：$W_2=(\frac{V_2}{\tau})^n$

\[\frac{W_1}{W_2}=(\frac{V_1}{V_2})^n\]

两边取自然对数再乘玻尔兹曼常数 $k$，

\[k\ln\frac{W_2}{W_1}=kN\ln\frac{V_2}{V_1}=kvN_A\ln\frac{V_2}{V_1}=vR\ln \frac{V_2}{V_1}\]

此即由克劳修斯熵公式导出的等温膨胀结果。

\[\Delta S=k\ln\frac{W_2}{W_1}=k\ln W_2-k\ln W_1\]

称 $S=k\ln W$ 为玻尔兹曼熵公式。

等温膨胀熵变（已经推导过，直接给出结果）

\[\Delta S=vR\ln\frac{V_2}{V_1}\]

等压过程熵变：

\[\Delta S=\int_{T_1}^{T_2}\frac{\delta Q}{T}=\int_{T_1}^{T_2}\frac{C_{p,m}\mathrm{d}T}{T}=C_{p,m}\ln \frac{T_2}{T_1}\]

等容过程熵变：

\[\Delta S=\int_{T_1}^{T_2}\frac{\delta Q}{T}=\int_{T_1}^{T_2}\frac{C_{V,m}\mathrm{d}T}{T}=C_{V,m}\ln \frac{T_2}{T_1}\]