积分变换笔记

傅里叶变换参见 https://zhuanlan.zhihu.com/p/108017728

傅里叶变换

傅里叶变换的定义

本文不探讨具体本质，只作公式记录

$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(\tau )e^{-j\omega \tau }\mathrm{d}\tau$，也可记为 $F(f(t))$，这是傅里叶变换

此时，有

$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\hat{f}(\omega )e^{j\omega t}\mathrm{d}\omega$$

，记为$F^{-1}(\hat{f}(\omega ))$，这是傅里叶逆变换

傅里叶变换和傅里叶逆变换的积分式子基本一致，因此有

$$\hat{\hat{f}}(t)=2\pi f(-t)$$

$\delta$ 函数

$$\delta (t)=\{\begin{array}{l}+\mathrm{\infty },t=0\\ 0,t\ne 0\end{array}$$

且 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta (t)=1$

称其为单位冲激函数。

• 筛选性质：${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(t)\delta (t-t_0)\mathrm{d}t=f(t_0)$

• 显然是偶函数

• 记单位阶跃函数：

  $$H(t)=\{\begin{array}{l}1,t\ge 0\\ 0,t<0\end{array}$$

  则显然 $H^{\prime }(t)=\delta (t)$

• ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\delta }^{(n)}(t-t_0)f(t)\mathrm{d}t=(-1{)}^n{f}^{(n)}(t_0)$

  冲激函数的导数可以筛选函数的导数。

傅里叶变换的性质

• 线性性质：

  $$F(af(t)+bg(t))=aF(\omega )+bG(\omega )$$

• 位移性质：

  $F(f(t-t_0))=e^{-j\omega t}\hat{f}(\omega )$

  $F^{-1}(\hat{f}(\omega -a))=e^{jat}f(t)$

• 相似性质：

  $F(f(at))=\frac{1}{|a|}\hat{f}(\frac{\omega }{a})$

• 微分性质：

  $F(f^{\prime }(t))=j\omega \hat{f}(\omega )$

  $F(-jtf(t))=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\omega }\hat{f}(\omega )$

• 积分性质（要求 $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}f(t)\mathrm{d}t=0$）：

  $F[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}f(\tau )\mathrm{d}\tau ]=\frac{1}{j\omega }\hat{f}(\omega )$

引入卷积 $\ast$ ：$f(t)\ast g(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(\tau )g(t-\tau )\mathrm{d}\tau$

• $F(f(t)\ast g(t))=\hat{f}(\omega )\hat{g}(\omega )$

  $F(f(t)g(t))=\frac{1}{2\pi }\hat{f}(\omega )\ast \hat{g}(\omega )$

利用傅里叶变换的微分性质，可以解常微分方程。如：

$a{y}^{″}+b{y}^{\prime }+cy=f$，则

$(a(jw{)}^2+bjw+c)\hat{y}=\hat{f}$

由此解出 $\hat{y}$ 和关于 $\hat{f}$ 的表达式，再做傅里叶逆变换即可。

由卷积性质，注意到 $f$ 和 $\frac{1}{(a(jw{)}^2+bjw+c)}$ 的乘积作傅里叶逆变换等同于 $f$ 和 $\frac{1}{(a(jw{)}^2+bjw+c)}$ 的傅里叶逆变换的卷积。

拉普拉斯变换

$$F(s)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(t)e^{-st}\mathrm{d}t$$

$f(t)H(t)e^{-\beta t}=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}F(s)e^{j\omega t}\mathrm{d}\omega$

若 $f$ 以 $T$ 为周期，则还有：

$F(f(t))=\frac{1}{1-e^{-sT}}{\int }_0^{T}f(r)e^{-sr}\mathrm{d}r$

这适用于求较难直接变换的函数（如 $|\sin t|$ ）的拉普拉斯变换

$\mathcal{Laplace}$ 变换的性质

• $F(f(t^n))=\frac{n!}{s^{n+1}}$

• 线性性质：

  $F(af(t)+bg(t))=aF(s)+bG(s)$

• 位移性质：

  $$f(t-t_0)H(t-t_0)\leftrightarrow e^{-s{t}_0}F(s)$$

  $e^{at}f(t)\leftrightarrow F(s-a)$

  （注意H是单位阶跃函数。）

• 相似性质：

  $f(at)\leftrightarrow \frac{1}{a}F(\frac{s}{a})$

  注意这里 $a$ 不能小于 $0$

• 微分积分性质：

  $f^{\prime }(t)\leftrightarrow sF(s)-f(0)$

  $-tf(t)\leftrightarrow F^{\prime }(s)$

  ${\int }_0^{t}f(\tau )\mathrm{d}\tau \leftrightarrow \frac{1}{s}F(s)$

  $\frac{1}{t}f(t)\leftrightarrow {\int }_s^{\mathrm{\infty }}F(\tau )\mathrm{d}\tau$

卷积定理

$$f(t)\ast g(t)\leftrightarrow F(s)G(s)$$

1. 利用拉普拉斯变换的定义 $F(s)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(t)e^{-st}\mathrm{d}t$，所以可以先求拉普拉斯变换，然后令 $s=0$ 来得到 $f(t)$ 在正半轴上积分的值。
2. 利用 $\mathcal{L}[\frac{1}{t}f(t)]={\int }_s^{\mathrm{\infty }}F(\tau )\mathrm{d}\tau$，依定义有 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{t}f(t)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}F(\tau )\mathrm{d}\tau$， 当求 $\frac{1}{t}f(t)$ 的积分时，也可以先求 $f(t)$ 的拉普拉斯变换再对 $F(s)$ 求积分，然后令 $s=0$。
3. $f(t)=\sum _{k=1}^n\text{Res}(F(s)e^{st},s_k)$