需要记忆的常量：

普朗克常量 $h=6.63\times 10^{-34}J\cdot s$

约化普朗克常数 $\hbar =1.0546\times 10^{-34}$

氢原子基态 $E_1=-13.6eV$

电子质量 $m=9.11×10^{-31}$

光速 $c=3\times 10^{8} m/s$

真空介电常数 $\varepsilon_0=8.854\times 10^{-12}$

静电力常量 $k=8.987\times 10^{9}$

电磁学

14章静电场

库仑定律：

\[F=k\frac{q_1q_2}{r^2}e_r\]

其中 $e_r$ 是方向向量。通常引入一个常量 $_0 $ 来代替 $k$ ，有 $k=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}$，于是

\[F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2}\]

电场

电场强度的原始定义：$E=\frac{F}{q_0}$，场强有方向。
场强可以按照向量相加的方式叠加。
点电荷的场强：$E=\frac{q}{4\pi \varepsilon_0r^2}$
球形电容器的场强：$E=\frac{q}{4\pi \varepsilon_0r^2}(R_1< r<R_2)$
由叠加原理，对带电体的场强计算即为上式的积分。
为了方便积分，引入电荷体密度 $\rho=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}V}$ ，对于均匀带电体，显然有 $\rho=\frac{q}{V}$，对于带电面和带电细线，定义是类似的。

一些经典结论：

无限长的均匀带电细棒的电场大小：$E=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0a}$，$\lambda$ 为电荷线密度
无限大均匀带电平板：$E=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}$，$\sigma$ 为电荷面密度
均匀带电圆环轴线场强：$E=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{Qx}{(x^2+R^2)^{3/2}}$

带电粒子在电场中受到的电场力也可以积分得到，即 $\int E\mathrm{d}q$

对于静电场，显然有 $\oint_L E \cdot \mathrm{d} L=0$

这在感生电场中不成立，因为可以出现环流。

电场强度通量与高斯定理

电场强度通量可以表示为$\Phi_e=\int E \cdot \mathrm{d}S$

用类似高数下的方式可以证明通过一个闭合曲面的电场强度通量满足：

\[\Phi_e=\oint E \cdot \mathrm{d}S=\frac{q}{\varepsilon_0}\]

（其中，$q$ 为闭合曲面内的电荷量。）

此即电场中的高斯定理。

由高斯定理，如果通过一个曲面的电场强度均匀，那么就可以由 $q$ 和曲面面积 $S$ 求出该面上每一点的电场强度。

通过构造这一曲面，有时可以方便计算电场强度。

电势

静电场是保守力场，因此可以引入静电势能 $W$。即要求：

\[W_a-W_b=\int_a^bq_0E\cdot \mathrm{d}l\]

电势即：

$U_a=\frac{W_a}{q_0}=\int_a^{\text{电势零点}}E\cdot \mathrm{d} l$

经常选择无穷远处为电势零点。

由于电场强度是可以叠加的，多个点同时作用于一个点的电势同理也是多个点各自对一个点电势的代数和。

需要注意的是，电场强度有方向和电势没有方向。

点电荷的电势：

\[U_p={\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r}}(r\not = 0)\]

通过积分，可以求出半径为 $R$ 的均匀带电球面的空间电势：

\[U=\frac{q}{4\pi \varepsilon_0R}(r\leq R)\]

\[U=\frac{q}{4\pi \varepsilon_0r}(r\geq R)\]

注意到，场强是电势的微分，电势是场强的积分。因此有：

\[E_x=-\frac{\partial U}{\partial x},E_y=-\frac{\partial U}{\partial y},E_z=-\frac{\partial U}{\partial z}\]

在这里，$U$ 被视为关于 $x,y,z$ 的三元函数。

一些其他结论：

电场强度方向（电场线）和等势面处处正交。
沿等势面移动，电场力做功为0。
带电粒子移动一个闭合路径，电场力做功之和为0.
等势面密集处电场线密集。

15章静电场中的导体和电介质

静电场中的导体

将导体放入静电场，静电平衡后，电荷仅分布在导体表面（称为感应电荷）。这些电荷的分布与导体表面本身的曲率也有关（尖端放电）。

感应电荷也会影响电场的分布。

表面电场：

\[E_表=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}e_n\]

其中，$e_n$ 是导体该点处表面单位外法向矢量，$\sigma$ 为电荷面密度。

静电屏蔽

静电场中的介质

电极化强度 $P=\frac{\Sigma p_e}{\Delta V}=\chi _e\varepsilon _0E$

穿过某闭合面的 $P$ 的通量满足 $\oint _S P\cdot \mathrm{d}S=-\Sigma q'$

电极化强度等于单位体积内分子的电偶极矩的矢量和。当外电场强度不太强时，等于电极化率 $_e $ 乘以 $\varepsilon_0$ 乘以外电场强度。

~~这怎么考嘛（小声）~~

高斯定理和电位移

电介质存在时，环流定理仍然成立，即 $\oint_L E \cdot \mathrm{d} L=0$

其中 $E$ 是自由电荷和磁化电荷的合场强。

高斯定理也依然成立，但应该表示为 $\oint _S E\cdot \mathrm{d}S=\frac{1}{\varepsilon_0}\Sigma (q_0+q')$

但是同时综合 $P$ 的计算公式 $\oint_L E \cdot \mathrm{d} L=\frac{1}{\varepsilon_0} \Sigma q_0-\frac{1}{\varepsilon_0}\oint _S P\cdot \mathrm{d}S$

即 $\oint _S(\varepsilon_0E+P)\cdot \mathrm{d}S=\Sigma q_0$

定义电位移 $D=\varepsilon E+ P$

通过以上推导，有

\[\oint_S D\cdot \mathrm{d}S =\Sigma q_0\]

此即 介质中的高斯定理

$D=\varepsilon _0E+P=\varepsilon_0E+\chi_e\varepsilon_0E=\varepsilon_0(1+\chi_e)E$

（相对介电常数）可以将 $1+\chi_e$ 记为 $\varepsilon_r$ ，然后将 $\varepsilon_0\varepsilon_r$ 记为 $\varepsilon$，即 $D=\varepsilon E$

真空的介电常数最小，其相对介电常数为1

电容和电容器

电容的基本单位为法拉，定义电容为：

\[C=\frac{Q}{U}\]

考虑孤立导体球的电容。

由电势那里的知识，有

$U=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0R}\frac{Q}{R}$

则有 $C=4\pi\varepsilon_0 R$

考虑平行板电容器的电容。

板间距离为 $d$ ，面积为 $S$ ，板间介质介电常量为 $\varepsilon$，$\sigma = \frac{q}{S}$ 即单位带电量

\[U_{AB}=\int _A ^B E\cdot \mathrm{d}l=\int_0^d\frac{\sigma}{\varepsilon}\mathrm{d}x=\frac{d\sigma}{\varepsilon}=\frac{qd}{\varepsilon S}\]

故有

\[C=\frac{\varepsilon S}{d}\]

推论：介质电容器电容是真空电容器的 $\varepsilon_r$ 倍

同理，由高斯定理知道球形电容器场强$E=\frac{q}{4\pi \varepsilon_0r^2}$ ，可以积分出 $C=\frac{4\pi \varepsilon R_1R_2}{R_2-R_1}$ ，当 $R_2$ 远大于 $R_1$ 时，可以发现此即孤立导体球的电容

电场的能量

电场能量 $W_e=A=\int_0^Q U\mathrm{d}q$，在电容器中有 $W_e=\frac{1}{2}CU^2=\frac{1}{2}QU$

电场能量密度 $w_e=\frac{\mathrm{d}W_e}{\mathrm{d}V}=\frac{1}{2}\varepsilon E^2=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}\frac{D^2}{\varepsilon}$，注意单位是 $J\cdot m^{-3}$

对电场能量密度积分就可以得到电场能量。

16章稳恒磁场

\[I=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\]

\[I=\frac{U}{R}\]

记电导 $G=\frac{1}{R}$，同时电阻满足 $R=\rho \frac{l}{S}$，其中 $\rho$ 为电阻率，$l$ 为导体长度，$S$ 为导体横截面积。

计电动势 $\mathcal{E}=\frac{A_\text{非}}{q}$ ，其中 $A_{\text{非}}$ 是单位正电荷在电源内部从负极移动到正极非静电力所做的功。

电动势与电压是类似的。

因为电场是保守场，显然有 $\oint_L E\cdot \mathrm{d}l=0$。

电场力所做的功 $A=q(U_1-U_2)=It(U_1-U_2)=I^2Rt$，电功率 $P=I^2R$

磁场和磁感应强度

电生磁

实验发现，电量为 $q_0$ 的电荷在磁场内以 $v$ 的速度运动会受到力，该力与 $v$ 的方向有关，在 $v$ 垂直于 $B$ 时最大，由此定义磁感应强度 $B=\frac{F_{\text{max}}}{q_0v}$。

毕奥-萨戈尔定律

载流导线任一电流元产生的磁感应强度：

\[\mathrm{d}B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}l\times \overrightarrow r}{r^3}\]

\[B=\int \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}l\times \overrightarrow r}{r^3}\]

$\mu _0=4\pi \times 10^{-7}H\cdot m^{-1}$ 为真空磁导率

注意方向。

几个经典结论：

对于一条载流直导线：$B=\frac{\mu_0I}{4\pi a}(\sin \beta_2 -\sin \beta _1)$，$\beta$ 为 P 点看向直线两端时与 P 和导线垂线的夹角，$a$ 为与导线所在直线距离。

当导线无限长时有 $B=\frac{\mu_0I}{2\pi a}$，半无限长 $B=\frac{\mu_0 I}{4\pi a}$.

带电圆环轴线上：$B=\frac{\mu_0}{2}\frac{R^2I}{(R^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}$

螺线管：$\int B=\int _L\frac{\mu_0}{2}\frac{R^2In\mathrm{d}x}{(R^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{\mu_0}{2}nI(\cos \theta_2-\cos \theta_1)$

无限长直螺线管：$B=\mu_0nI$

这些其实都可以轻易积分得到。

匀速运动点电荷产生的磁感应强度：

\[B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q\overrightarrow v \times \overrightarrow r}{r^3}\]

这和毕奥-萨戈尔定律形式一致，即 $q\overrightarrow v =q\frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}t}=I\mathrm{d}l$

磁场中的高斯定理

定义通过一个曲面的磁通量 $\varPhi _m=\int_S B \cdot \mathrm{d}S$，单位为韦伯。

因为磁感应线为闭合曲线，所以在闭合曲面 $S$ 内必然有 $\int_S B \cdot \mathrm{d}S=0$

这与电场中的高斯定理是不同的，因为电场曲面中可以有电荷，从而使电场线全部向外

安培环路定理

\[\oint _L B\cdot \mathrm{d}l=\mu_0\Sigma I_{\text{内}}\]

即磁感应强度沿闭合路径 $L$ 的线积分为穿过该路径的电流的 $\mu_0$ 倍。

常取圆（设半径为$r$）为 $L$ ，故 $B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}$

课本P115的例题给出了利用安培环路定理证明一个无限长螺线管内部 $B=\mu_0 nI$的方法。

17章磁场对运动电荷的作用

洛伦兹力

\[F=qv\times B\]

$v$ 与 $B$ 垂直时，对于只受洛伦兹力常常有 $qvB=m\frac{v^2}{R}$，故有 $R=\frac{mv}{qB}$，周期即为 $T=\frac{2\pi m}{qB}$.

成夹角 $\theta$ 时是螺旋线，垂直方向分解成 $v\sin \theta$ 即可。

（霍尔效应不考）

安培力

\[F=\int I\mathrm{d}l\times B\]

考虑边与磁场平行或垂直的载流线圈，有两条边受力抵消，有两条边受力 $F=Il_2B$ 也大小相等方向相反，但不在一条线上，形成一力偶，力臂为 $l_1\cos \theta$ ，力偶矩为 $Il_1l_2B=ISB$，通常用 $\varphi$ ，线圈法向和磁场方向的夹角，有 $\theta +\varphi=\frac{\pi}{2}$。但是我们有 $N$ 匝线圈，于是有 $M=NISB\sin \varphi$，方向为法向和磁场方向叉乘的方向。

磁场的功

$W=I\Delta \varPhi_m$，$$ 是磁通量变化量。

对于正在转动的，可以做积分 $W=\int^{\varPhi_{m2}}_{\varPhi_{m1}} I\mathrm{d}\varPhi_m$。

18章磁介质

当磁场 $B_0$ 中真空改为磁介质时间，$B=\mu_rB_0$。

如长直螺线管中（真空磁导率为 $\mu_0$），有 $B=\mu_r\mu_0nI$ ，记 $\mu=\mu_r\mu_0$，则 $B=\mu nI$。称 $\mu_r$ 为相对磁导率，$\mu$ 为磁导率

抗磁质（$\mu_r <1$）：铋汞铜氢；顺磁质（$\mu_r >1$）：氢氧铝铂；铁磁质（$\mu_r >>1$）：纯铁，硅钢，坡莫合金。

（磁介质的磁化和磁介质中的高斯定理应该不考）

磁介质中也有安培环路定理，其形式为

$\oint _LH\cdot \mathrm{d}l=\sum_{L}I$，其中$H=\frac{B}{\mu}$

19章电磁感应

法拉第电磁感应定律

感应电动势的大小和磁通量变换率成正比。

即 $\varepsilon_i=-\frac{\mathrm{d}\varPhi m}{\mathrm{d}t}$

（如果是线圈，需要乘上匝数 $N$，把乘上后的记为 $\Psi$ 磁链）

动生电动势和感生电动势

动生电动势有 $\varepsilon_i=\int_{(L)}(v\times B)\cdot \mathrm{d}l$

感生电动势有 $\varepsilon_i=-\oint_S\frac{\partial B}{\partial t}\cdot \mathrm{d}S$

对于一个圆柱形磁场，取一个同心圆区域求圆周上的磁感应强度：

考虑圆内磁通量变化率为 $\pi r^2\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}$，圆周长度 $2\pi r$，圆上磁感应强度为 $r\frac{\mathrm{d}B}{2\mathrm{d}t}$。

需要注意，圆柱形磁场的电动势呈同心圆环状。

自感

记自感 $L=\frac{\Psi}{I}$ ，即磁链与电流大小的比值，对于同个器件（如长直螺线管），这是定值。

由安培环路定理，长直螺线管内 $B=\mu_0nI$ ，磁通量 $\varphi = S\mu_0nI$ ，磁链 $\Psi = S\mu_0n^2lI$，自感系数 $L=V\mu_0n^2$

注意磁链乘的是匝数不是单位匝数，上面所有小 $n$ 都是单位长度匝数。

互感不考。

磁能

考虑电感可以储能，储存的方式是磁场，定义这个能为磁能。

考虑电感串联灯泡：

\[\mathrm{d}W=\varepsilon_Li\mathrm{d}t=-L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}i\mathrm{d}t=-Li\mathrm{d}i\]

\[W=\int_l^0-Li\mathrm{d}i=\frac{1}{2}LI^2\]

即自感为 $L$ 的线圈通有 $I$ 时磁场能量为 $W=\frac{1}{2}LI^2$.

通过长直螺线管可以导出能量密度，即单位体积 $\mathrm{d}V$ 内磁能 $\frac{1}{2}BH \mathrm{d}V$，则某一磁场总能量 $\frac{1}{2}\int BH\mathrm{d}V$。这一结论虽然由长治螺线管导出，但是于所有磁场中都适用。

20章麦克斯韦方程组与电磁波

位移电流和全电流定理

为了使安培环路定理适用于电容中间，考虑电容，两个极板之间也有电流。

由高斯定理，电位移满足：$\int_S D\cdot \mathrm{d}S=\sigma S=q$

记电位移通量 $\Psi =\int_S D\cdot \mathrm{d}S$ ，则发现 $I=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\Psi}{\mathrm{d}t}=S\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}$ 。

定义位移电流 $I_d=\frac{\mathrm{d}\Psi}{\mathrm{d}t}$，还有位移电流密度 $\dot J_d=\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}$

于是定义全电流 $I_{\text{全}}=I+I_d=I+\frac{\mathrm{d}\Psi}{\mathrm{d}t}$，全电流的电流密度 $\dot J_{\text{全}}=\dot J+\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}$。

位移电流在磁效应方面和传导电流完全相同，于是有安培环路定理Plus

\[\oint _LH\cdot \mathrm{d}l=I_{\text{全}}=\sum \limits_LI+I_d=\sum \limits_LI+\frac{\mathrm{d}\Psi}{\mathrm{d}t}\]

写到这里发现20章不考，嘿嘿

近代物理

21章狭义相对论

爱因斯坦的相对论时空观

对于牛顿绝对时空观，有伽利略坐标变换表明在不同的惯性系中，物体的加速度相同。

狭义相对论下，对于 $S$ 系和具有相对速度 $v$ 的 $S'$ 系存在洛伦兹坐标变换：

\[\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\]

$\Delta t'=\frac{\Delta t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$，动钟变慢；

在与杆相对静止的惯性参考系中测得的时间叫固有时 $\Delta t$ 。

$l=l_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$，动尺变短。

在与杆相对静止的惯性参考系中测得的长度叫固有长度 $l_0$，常用的结论是，固有长度最长。

相对论动力学

由动量守恒可以推得 $m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

$p=mv=\frac{m_0v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

$F=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}+v\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}$

且动能 $E_k=mc^2-m_0c^2$ ，称前一项为总能量 $E=mc^2$，后一项为静止能量 $E_0=m_0c^2$。

$E=mc^2=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

$p=mv=\frac{m_0v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

可以推得：

$E^2=E_0^2+p^2c^2$ ，这个可以画成直角三角形。

22章早期量子论

光电效应

本章里，我们用 $\mathtt v$ 和 $v$ 来区分频率和速度。

光照射到金属表面时，会有光电子溢出。光电子存在一个最大初动能 $\frac{1}{2}mv_m^2$ ，若电压（反向）和光电子带电量的乘积大于这个动能，则光电子无法溢出。故有：$\frac{1}{2}mv_m^2=eU_a$ 。称 $U_a$ 为遏止电压。

对于给定的材料，改变入射光频率，发现遏止电压随频率线性变化，且变化幅度与材料无关，即：

$U_a=k\mathtt v-U_0$ ，$k$ 是普适常量，$U_0$ 依赖于材料。

容易发现，存在红限频率 $v_0=\frac{U_0}{k}$ ，当 $v<v_0$ 时，无论光强多强都无法发生光电效应。

光电效应是瞬时发生的。
初动能与光强无关

这些现象都是经典物理学无法解释的，故爱因斯坦提出了光量子假说。一个光子的能量为 $h\mathtt v$ ，设某金属逸出功为 $A$ ，则：

$h\mathtt{v}=\frac{1}{2}mv^2+A$

这里 $h$ 是普朗克常量。

因此也有 $A=h\mathtt v _0$。

康普顿效应：$\Delta \lambda =\lambda -\lambda _0=\lambda _c(1-\cos \varphi)$，其中 $\lambda _C=\frac{h}{m_0c}\approx 2.43\times 10^{-3}\mathrm{nm}$，称之为康普顿波长。

光具有波粒二象性，满足：$\varepsilon=h\mathtt v,p=\frac{h}{\lambda}$，分别是光子的动能和动量。

$c=\lambda \mathtt v$

氢原子光谱

氢原子系统能量是不连续的，取值为：

$E_n=\frac{-13.6}{n^2}eV,n=1,2,3,\cdots$

量子力学初步

德布罗意波

物质同样具有波粒二象性。一个具有动量 $p$ 和能量 $E$ 的自由粒子，可以对应一个具有确定波长 $$ 和频率 $\mathtt v$ 的波。

$\mathtt v =\frac{E}{h},\lambda = \frac{h}{p}$，这与爱因斯坦关系是类似的。

波函数

假设波函数 $\varPsi (x,y,z,t)$，则由波函数可以确定粒子出现在各个位置的概率。

关于波函数的定义，在薛定谔方程一节，但是这节不考。

由归一性原理，有

$\int |\varPsi (x,y,z,t)|^2\mathrm{d}V=1$

通过这个可以确定 $\varPsi$ 的系数，从而用积分计算某一区间的出现概率。

氢原子的量子态

能量量子化：$E_n=-\frac{13.6}{n^2}$

角动量量子化：$L=\sqrt{l(l+1)}\hbar$

$$ 是约化普朗克常数，数值上等于 $\frac{h}{2\pi}$

$l$ 为角量子数，对于给定的能级 $n$ ，$l$ 可取 $0\sim n-1$ ，用 $s,p,d,f,\cdots$ 分别表示 $l=0,1,2,3,\cdots$ 的不同量子状态，例如 $2p$ 表示 $n=2,l=1$。

角动量空间取向量子化：轨道角动量分量 $L_z=m_lh,\quad (m_l=-l\sim +l)$，即有 $2l+1$ 个不同取向。

确定 $n$ 后，有 $n$ 个 $l$ 的可能取值，从而有 $n$ 个 $L$ 的可能取值和 $2l+1$ 个 $L_z$ 的可能取值

自旋量子数：$s=\frac{1}{2}$，自旋磁量子数：$m_s=\pm \frac{1}{2}$

四个量子数就可以确定氢原子核外电子的状态波函数。写作 $(n,l,m_l,m_s)$ ，例如基态 $(1,0,0,-\frac{1}{2})$

泡利不相容原理：院子系统内不可能有两个或两个以上电子处在同样的状态。也就是说，若给定 $n$ ，电子的数目最多为 $\sum _{l=0}^{n-1} 2(2l+1)=2n^2$

第一步枚举 $l$，然后对 $m_l,m_s$ 的可能状态数乘积求和

所以 $s$ 层最多有 2 个电子， $p$ 层 6 个，$d$ 层 10 个，$\cdots$，这是 $(2l+1) $ 的结果。