信号与系统
第一章 信号与系统
1.1 连续时间与离散时间信号
信号可以分为确知信号与随机信号，本课程只研究确知信号。
也分为连续时间信号 \(x(t)\) 与离散时间信号 \(x[n]\)。
连续时间信号在时间轴上连续，离散信号只在离散的值上有值
用数字计算机做信号处理时，常用离散信号。如果要处理连续信号，则需要模拟电子技术。
连续时间信号的能量定义为：
\[E=\int_{t_1}^{t_2}|x(t)|^2\mathrm{d}t\]
平均功率定义为：
\[P=\frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}|x(t)|^2\mathrm{d}t\]
注意到，表示E和P的积分式可能不收敛，因此可以分出三类：
- 能量信号——信号具有有限的总能量：\(E_{\infty}<\infty ,P_{\infty}=0\)
功率信号——信号具有无限的总能量，但是平均功率有限：\(E_{\infty}=\infty ,0<P_{\infty}<\infty\)
信号的总能量和总功率都是无限的。
另外，也可以分为周期信号\(（x(t+T)=x(t)\)）和非周期信号。可以注意到，周期信号一定是功率信号。
时间上离散，频率必然是周期的。时间上是周期的，频谱一定离散。
1.2 自变量的变换
自变量变换举例
若把信号看成以时间为自变量的函数（或数列），自变量的改变会使信号的特性改变：
时移变换
\(x(t)\longrightarrow x(t-t_0)\) 信号向右平移 \(t_0\)。
反转变换
\(x(t)\longrightarrow x(-t)\) 镜像翻转
尺度变换（缩放）
\(x(t)\longrightarrow x(\alpha t)\)
若对离散时间信号做尺度变换（\(\alpha = \frac{1}{k}\)，\(k\) 是正整数），则这一过程称为对 \(x(n)\) 的抽取。
周期信号
- 若存在 \(T>0\) 使得对于任意 \(t\) 都有 \(x(t)=x(t+T)\)，则称 \(x(t)\) 是以 \(T\) 为周期的周期信号
- 所有 \(T\) 里面最小的一个称为基波周期
要注意 \[ x(t)= \begin{cases} \cos t,\quad t<0\\ \sin t,\quad t\geq 0 \end{cases} \] 是非周期的，因为 \(t=0\) 这一不连续点不在其他地方重现
偶信号和奇信号
\(x(-t)=x(t)\) ，则为偶信号
\(-x(t)=x(-t)\)，则为奇信号
奇信号 \(x(t)\) 在零点处的取值必须为0.
任意信号都可以分解成一个偶信号和一个奇信号之和。
指数信号和正弦信号
连续时间复指数信号具有如下形式：
\[x(t)=Ce^{at},\quad -\infty<t<+\infty\]
其中，\(C\) 和 \(a\) 一般为复数。
若 \(C\) 和 \(a\) 均为实数。则退化为实指数信号
若 \(a\) 为纯虚数，可写为：\(x(t)=e^{j\omega_0t}\)
这必然是一个周期信号，且基波周期 \(T_0\) 为 \(T_0=\frac{2\pi }{|\omega_0|}\)，基波频率为 \(|\omega_0|\)
由欧拉公式 \(e^{j\omega_0t}=\cos(\omega _0t)+j\sin(\omega_0t)\)
\(\cos(\omega _0t)=\frac{1}{2}[e^{j\omega_0t}+e^{-j\omega_0t}]\)
\(\sin(\omega _0t)=\frac{1}{2j}[e^{j\omega_0t}-e^{-j\omega_0t}]\)
因此复指数信号可以用与其基波周期相同的正弦信号表示。正弦信号也可以用相同周期的复指数信号表示。
有/无记忆系统
可逆/不可逆系统
（可逆系统意味着一对一映射）
稳定性
在小的输入下不会发散
时不变
系统的特性不随时间变化
只要掌握冲激响应就能掌握任意输入的响应
线性
可叠加，叠加后也是线性的。
输入叠加，则输出响应叠加。
（目前的人工智能大多采用非线性系统，其具体原理难以分析理解。）
LTI system
离散LTI
单位脉冲为 \(\delta[n]\) 只有在0处为0.
第一个性质：抽样\(x[0]\delta[n]=\begin{cases}x[0],\quad n=0\\0,\qquad n\not = 0\end{cases}\)
在时不变系统中，\(x[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]\delta[n-k]\)，假设输入 \(\delta\) 的响应为 \(h\)，则因为有 \(h_k[n]=h_0[n-k]=h[n-k]\)
故 \[ y[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]h[n-k]=x[n]*h[n] \] 同样地，在连续时间系统中
单位阶跃函数 \(u(t)=\begin{cases}0,t<0\\1,t>0\end{cases}\)
单位脉冲函数 \(\delta(t)=\begin{cases}\infty,t=0\\0,t\not =0\end{cases},\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)\mathrm{d}t=1\)，这个函数是奇异的 \[ y[n]=\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)h(t-\tau)\mathrm{d}\tau=x(t)*h(t) \] 利用傅里叶变换的性质： \[ \begin{align} F(f(t)*g(t))&=\hat f(\omega)\hat g(\omega)\\ F(f(t)g(t))&=\frac{1}{2\pi}\hat f(\omega )*\hat g(\omega) \end{align} \] 这会很方便我们求解卷积的逆运算。
这一分解方法是在时域上进行的，这是分解信号的一种简单方法。
应当注意到，这一分解方法仅适用于LTI system，考虑如下两个响应：\(y_1=(x_1+x_2)^2,\quad y_2=\max(x_1,x_2)\) ，他们的单位冲激响应相同，但系统并不相同。
- 定义：如果系统没有记忆，则:
\[ h[n]\rightarrow k\delta[n]\\ h(t)\rightarrow k\delta(t) \]
定义：如果 \[ h[n]*h_1[n]=\delta [n]\\ h(t)*h_1(t)=\delta (t) \] 则称系统可逆。
在现实中，系统的可逆性是允许延时存在的，即： \[ h[n]*h_1[n]=\delta [n+k]\\ h(t)*h_1(t)=\delta (t+k) \]
如果系统满足 \[ h[n]=0,\quad \text{for n < 0}\\ h(t)=0,\quad \text{for t < 0}\\ \] 则称系统是因果的。
定义：如果系统满足 \[ \sum_{k=-\infty}^{+\infty} |h[k]|<\infty\\ \int_{-\infty}^{+\infty}|h(t)|<\infty \] 则称系统是稳定的。
（这关系到傅里叶变换的可行性）
定义：称 \[ \sum_{0}^n h[i]\\ \int _{-\infty}^t h(t)\mathrm{d}t \] 为系统的单位阶跃响应。
将一式错位相减，二式求导，就是系统的单位冲激响应。
周期信号的傅里叶级数表示
把信号分解为一系列基本单元（多项式、脉冲、复指数）的组合。
狄利克雷条件：
绝对可积，区间内极值个数有限，不连续点个数有限且这些点的值有限。才有傅里叶级数
\(a_k\) 中，\(k\) 越大意味着其包含着频率越高的部分。
单位函数的 \(a_k\) 只有在0处有取值，而单位冲激函数的 \(a_k\) 在每个频率上相等
- 线性：同周期线性可加
时移：\(x(t)\rightarrow a_k\text{, then }x(t-t_0)\rightarrow e^{-jkw_0t_0}a_k\)
- 反转：\(x(t)\rightarrow a_k\text{, then }x(-t)\rightarrow a_{-k}\)
\(\frac{1}{T}\int |x(t)|^2 \mathrm{d}t=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}|a_k|^2\)
相乘：乘积的傅里叶变换等于傅里叶变换的卷积。