傅里叶变换参见 https://zhuanlan.zhihu.com/p/108017728

傅里叶变换

傅里叶变换的定义

本文不探讨具体本质，只作公式记录

\(\hat f(\omega) = \int _{-\infty}^{+\infty}f(\tau )e^{-j\omega \tau}\mathrm{d} \tau\)，也可记为 \(F(f(t))\)，这是傅里叶变换

此时，有 \[f(t) =\frac{1}{2\pi } \int _{-\infty}^{+\infty}\hat f(\omega )e^{j\omega t}\mathrm{d} \omega\]，记为\(F^{-1}(\hat f(\omega))\)，这是傅里叶逆变换

傅里叶变换和傅里叶逆变换的积分式子基本一致，因此有

\[\hat {\hat f}(t)=2\pi f(-t) \]

\(\delta\) 函数

\[\delta (t)=\begin{cases}+\infty ,\quad t=0\\ 0 ,\quad t\not = 0 \end{cases}\]

且 \(\int _{-\infty}^{+\infty}\delta(t)=1\)

称其为单位冲激函数。

  • 筛选性质：\(\int _{-\infty}^{+\infty} f(t)\delta (t-t_0)\mathrm{d}t=f(t_0)\)

  • 显然是偶函数

  • 记单位阶跃函数：

    \[H(t)=\begin{cases}1 ,\quad t\geq 0\\ 0 ,\quad t< 0 \end{cases}\]

    则显然 \(H'(t)=\delta (t)\)

  • \(\int ^{+\infty}_{-\infty}\delta ^{(n)}(t-t_0)f(t)\mathrm{d}t=(-1)^nf^{(n)}(t_0)\)

    冲激函数的导数可以筛选函数的导数。

傅里叶变换的性质

  • 线性性质：

    \[F(af(t)+bg(t))=aF(\omega )+bG(\omega )\]

  • 位移性质：

    \(F(f(t-t_0))=e^{-j\omega t }\hat f(\omega)\)

    \(F^{-1}(\hat f(\omega -a))=e^{jat}f(t)\)

  • 相似性质：

    \(F(f(at))=\frac{1}{|a|}\hat f(\frac{\omega}{a})\)

  • 微分性质：

    \(F(f'(t))=j\omega \hat f (\omega )\)

    \(F(-jt f(t))=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\omega}\hat f(\omega)\)

  • 积分性质（要求 \(\lim \limits_{t\rightarrow +\infty}\int_{-\infty}^tf(t)\mathrm{d}t=0\)）：

    \(F[\int_{-\infty}^{t}f(\tau)\mathrm{d}\tau]=\frac{1}{j\omega }\hat f(\omega)\)

引入卷积 \(*\) ：\(f(t)*g(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)g(t-\tau)\mathrm{d}\tau\)

  • \(F(f(t)*g(t))=\hat f(\omega)\hat g(\omega)\)

    \(F(f(t)g(t))=\frac{1}{2\pi}\hat f(\omega )*\hat g(\omega)\)

利用傅里叶变换的微分性质，可以解常微分方程。如：

\(ay''+by'+cy=f\)，则

\((a(jw)^2+bjw+c)\hat y=\hat f\)

由此解出 \(\hat y\) 和关于 \(\hat f\) 的表达式，再做傅里叶逆变换即可。

由卷积性质，注意到 $f $ 和 \(\frac{1}{(a(jw)^2+bjw+c)}\) 的乘积作傅里叶逆变换等同于 \(f\) 和 \(\frac{1}{(a(jw)^2+bjw+c)}\) 的傅里叶逆变换的卷积。

拉普拉斯变换

\[F(s)=\int_0^{+\infty} f(t)e^{-st}\mathrm{d}t\]

\(f(t)H(t)e^{-\beta t}=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty }F(s)e^{j\omega t}\mathrm{d}\omega\)

若 \(f\) 以 \(T\) 为周期，则还有：

\(F(f(t))=\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_0^Tf(r) e^{-sr}\mathrm{d}r\)

这适用于求较难直接变换的函数（如 \(|\sin t|\) ）的拉普拉斯变换

\(\mathcal{Laplace}\) 变换的性质

  • \(F(f(t^n))=\frac{n!}{s^{n+1}}\)

  • 线性性质：

    \(F(af(t)+bg(t))=aF(s)+bG(s)\)

  • 位移性质：

    \[f(t-t_0)H(t-t_0)\leftrightarrow e^{-st_0}F(s)\]

    \(e^{at}f(t)\leftrightarrow F(s-a)\)

    （注意H是单位阶跃函数。）

  • 相似性质：

    \(f(at)\leftrightarrow \frac{1}{a}F(\frac{s}{a})\)

    注意这里 \(a\) 不能小于 \(0\)

  • 微分积分性质：

    \(f'(t)\leftrightarrow sF(s)-f(0)\)

    \(-tf(t)\leftrightarrow F'(s)\)

    \(\int_0^t f(\tau )\mathrm{d}\tau \leftrightarrow \frac{1}{s}F(s)\)

    \(\frac{1}{t}f(t)\leftrightarrow \int _s^{\infty}F(\tau)\mathrm{d}\tau\)

卷积定理

\[f(t)*g(t)\leftrightarrow F(s)G(s)\]

  1. 利用拉普拉斯变换的定义 \(F(s)=\int_0^{+\infty} f(t)e^{-st}\mathrm{d}t\)，所以可以先求拉普拉斯变换，然后令 \(s=0\) 来得到 \(f(t)\) 在正半轴上积分的值。
  2. 利用 \(\mathcal L[{\frac{1}{t}f(t)}]=\int _s^{\infty}F(\tau)\mathrm{d}\tau\)，依定义有 \(\int_0^{+\infty}\frac{1}{t} f(t)=\int _0^{\infty}F(\tau)\mathrm{d}\tau\)， 当求 \(\frac{1}{t}f(t)\) 的积分时，也可以先求 \(f(t)\) 的拉普拉斯变换再对 \(F(s)\) 求积分，然后令 \(s=0\)。
  3. \(f(t)=\sum_{k=1}^n \text{Res}(F(s)e^{st},s_k)\)